domingo, 17 de março de 2013

Integrais de funções trigonométricas

Cálculo


As Integrais de funções trigonométricas são resolvidas através dos conhecimentos básicos sobre funções integrais de seno, cosseno, tangente, etc. e outras técnicas específicas para cada tipo de problema. Potências de funções trigonométricas também possuem formas especiais de resolução.
A primeira técnica a ser buscada é a resolução por funções conhecidas, se a integral buscada for simples. Abaixo, as principais:


Havendo uma composição de funções, em que a função trigonométrica ocupe posição externa, busca-se uma substituição conveniente:


Porém, se a função mais interna da composição for a função trigonométrica, analisa-se a possibilidade de substituição, havendo potências com residuais de derivadas:


Esta técnica de resolução só é possível se o residual de derivada de uma das duas funções trigonométricas estiver em produto com a outra. Porém, se a integração for com uma simples potência de função trigonométrica, utiliza-se as fórmulas de redução ou recorrência até a obtenção de somas de potências unitárias. Veja quais são estas fórmulas:


 Note que ainda não mostramos nenhuma dica de como integrar funções racionais. Mas antes, vale lembrar que é possível usar todas aquelas identidades trigonométricas e substituir potências ou arcos duplos, não sendo necessária a troca dos limites de integração. As duas últimas são usadas em produtos de seno e cosseno de arcos distintos (sen 2θ ∙ cos 5θ, por exemplo). Abaixo, algumas destas identidades:


Geralmente, se podem usar estas substituições em funções constituídas por somas de outras funções trigonométricas, até a obtenção de uma forma mais simples. Porém, se o integrando possuir funções trigonométricas no denominador, a melhor forma de resolução pode ser a substituição por funções polinomiais com o parâmetro t. Este parâmetro é a simplificação da função tangente de x/2, no intervalo –π < x < π da qual se podem estabelecer as seguintes relações (a dedução fica a cargo do leitor):


Não é difícil a resolução de integrais trigonométricas, apenas estas podem ser demoradas pela extensão. O mais importante é analisar cada caso e ver qual método se encaixa ao integrando em questão.

 



  

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